注:c(k,n)=n!/(k!(n-k)!)^代表前麵括號及此中內容為上標，求xx階導數

把t再寫成x，就變成了開首的公式，該公式就是牛頓-萊布尼茨公式。

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公式這個公式能表白路程s是每個分歧速率時候行駛的時候和當前速率乘積的和。牛頓-萊布尼茨公式的意義就在於把不定積分與定積分聯絡了起來，也讓定積分的運算有了一個完美、令人對勁的體例。上麵就是該公式的證明全過程:對函數f(x)於區間[a,b]上的定積分表達為:

這些東西你們看得懂麼，歸正我是看不懂的(⊙o⊙)…

牛頓-萊布尼茨公式

電場強度e在肆意麪積上的麵積分

綜合有當地區的鴻溝曲線與穿過內部且平行於座標軸(軸或軸)的任何直線的交點最多是兩點時,我,同時建立.將兩式歸併以後即得格林公式

【證明】先證：假定地區的形狀以下(用平行於軸的直線穿過地區,與地區鴻溝曲線的交點最多兩點)

而Φ(b)=b(上限)∫a(下限)f(t)dt，以是b(上限)∫a(下限)f(t)dt=f(b)-f(a)

相乾先容：對座標的曲線積分與途徑無關的定義

Φ(x)=x∫a*f(t)dt

高斯定理，靜電場的根基方程之一，它給出了電場強度在肆意封閉曲麵上的麵積分和包抄在封閉曲麵內的總電量之間的乾係。

(uv)^(n)=∑(n，k=0)c(k,n)*u^(n-k)*v^(k)

而ΔΦ=xΔx(上限)∫x(下限)f(t)dt=f(ξ)Δx(ξ在x與xΔx之間，可由定積分中的中值定理推得，當Δx趨勢於0也就是ΔΦ趨勢於0時，ξ趨勢於x，f(ξ)趨勢於f(x)，故有limΔx→0ΔΦ/Δx=f(x)

【定義二】曲線積分在內與途徑無關是指,對於內肆意一條閉曲線,恒有

高斯公式

因而有Φ(x)f(a)=f(x)，當x=b時，Φ(b)=f(b)-f(a),

【定義一】設是一個開地區,函數,在內具有一階持續偏導數,如果對於內肆意兩點,以及內從點到點的肆意兩條曲線,,等式恒建立,就稱曲線積分在內與途徑無關;不然,稱與途徑有關.定義一還可換成以下等價的說法若曲線積分與途徑無關,那麼即:在地區內由所構成的閉合曲線上曲線積分為零.反過來,如果在地區內沿肆意閉曲線的曲線積分為零,也可便利地導出在內的曲線積分與途徑無關.

(1)∮cp(x,y)dxq(x,y)dy=∫∫d(dq/dx-dp/dy)dxdy

【定理】設開地區是一個單連通域,函數,在內具有一階持續偏導數,則在內曲線積分與途徑無關的充分需求前提是等式在內恒建立.證明:先證充分性在內任取一條閉曲線,因單連通,故閉曲線所圍成的地區全數在內.從而在上恒建立.由格林公式,有依定義二,在內曲線積分與途徑無關.再證需求性(采取反證法)假定在內等式不恒建立,那麼內起碼存在一點,使無妨設因為在內持續,在內存在一個覺得圓心,半徑充分小的圓域,使得在上恒有由格林公式及二重積分性子有這裡是的正向鴻溝曲線,是的麵積.這與內肆意閉曲線上的曲線積分為零的前提相沖突.故在內等式應恒建立.說明:定理所需求的兩個前提缺一不成.【反例】會商,此中是包抄原點的一條分段光滑曲線且正向是逆時針的.這裡撤除原點外,在所圍成的地區內存在,持續,且.在內,作一半徑充分小的圓周在由與所圍成的複連通域內利用格林公式有